ADV-001 · 이차함수의 최솟값과 대칭축

문제

이차함수 $f(x) = 2x^2 - 12x + 23$ 에 대하여, $f(x)$ 의 최솟값은?

(A) $-13$ (B) $3$ (C) $5$ (D) $23$

$x^2$ 의 계수 $2$ 를 앞으로 묶는다.

f(x) = 2\left(x^2 - 6x\right) + 23

괄호 안을 완전제곱으로 만든다. $-6$ 의 절반은 $-3$ , 제곱하면 $9$ 이므로 더하고 뺀다.

f(x) = 2\left(x^2 - 6x + 9 - 9\right) + 23 = 2(x - 3)^2 - 18 + 23

f(x) = 2(x - 3)^2 + 5

$2(x-3)^2 \geq 0$ 이므로 $x = 3$ 일 때 최소이고, 그 값은 $5$ 이다.

괄호 밖으로 나갈 때 $2$ 를 곱해야 한다는 점을 놓치기 쉽다. $-9$ 가 아니라 $-18$ 이다.

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = 3

f(3) = 2(9) - 12(3) + 23 = 18 - 36 + 23 = 5

꼭짓점형으로 바꾸는 것이 번거로우면 이쪽이 빠르다. 다만 “꼭짓점을 상수로 보여 주는 식은?” 같은 질문에는 방법 1의 결과가 필요하다.

\boxed{5} \quad \text{(C)}

대칭축 $x = 3$ 을 답으로 쓰는 경우. 묻는 것은 최솟값( $y$ 좌표)이지 그 위치가 아니다. 선택지 (B)가 이 실수를 노린 자리다.
완전제곱에서 $a$ 를 곱하지 않아 $2(x-3)^2 + 14$ 로 잘못 정리하는 경우.