ALG-001 · 연립일차방정식이 해를 갖지 않을 조건

문제

다음 연립방정식이 해를 갖지 않도록 하는 상수 $k$ 의 값은?

(A) $5$ (B) $9$ (C) $15$ (D) $27$

풀이

두 직선이 평행하면 교점이 없으므로 해가 없다. 평행 조건은 다음과 같다.

$x$ 계수의 비를 먼저 본다.

$y$ 계수도 같은 비여야 하므로,

이제 상수항의 비가 다른지 확인한다. 여기까지만 보고 답을 쓰면 “해가 무수히 많은” 경우와 구별하지 못한다.

상수비가 다르므로 두 직선은 겹치지 않고 나란하다. 따라서 해가 없다.

답

자주 하는 실수

• 계수비만 맞추고 상수비 확인을 건너뛰는 경우. 그러면 “해가 무수히 많을 조건”과 답이 같아져 버린다. 이 문항의 상수항을 $36$ 으로 바꾸면 $\frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ 이 되어 같은 $k=15$ 에서 해가 무수히 많아진다.
• $\frac{5}{k}$ 를 $\frac{k}{5}$ 로 뒤집어 쓰는 경우. 비의 방향을 두 식에서 똑같이 맞춰야 한다.

변형 방향

• 상수항을 $36$ 으로 바꾸면 “해가 무수히 많을 조건” 문항이 된다.
• $k$ 를 $x$ 계수 자리에 두면 계산 순서가 한 단계 늘어난다.