GEO-001 · 전개된 원의 방정식에서 반지름 구하기

문제

좌표평면 위의 원이 다음 방정식으로 주어진다.

이 원의 지름의 길이는?

(A) $7$ (B) $10$ (C) $14$ (D) $49$

풀이

원의 표준형은 다음과 같다.

주어진 식을 이 꼴로 되돌린다. $x$ 끼리, $y$ 끼리 모으고 상수를 넘긴다.

각 괄호를 완전제곱으로 만든다. 일차항 계수의 절반을 제곱해서 양변에 더한다.

• $x$ : $10$ 의 절반은 $5$, 제곱하면 $25$
• $y$ : $-4$ 의 절반은 $-2$, 제곱하면 $4$

중심은 $(-5,\ 2)$, 그리고

지름은 반지름의 두 배이므로 $14$ 이다.

답

자주 하는 실수

• $49$ 를 그대로 고르는 경우. 우변은 $r^2$ 이지 $r$ 이 아니다. 선택지 (D)가 그 자리다.
• $7$ 을 고르는 경우. 반지름은 $7$ 이 맞지만 문항이 묻는 것은 지름이다. 선택지 (A).
• 중심의 부호를 뒤집는 경우. $(x + 5)^2$ 이므로 $h = -5$ 다.

덧붙여 — 원점의 위치

중심 $(-5, 2)$ 와 원점 사이의 거리는

이므로 원점은 이 원의 내부에 있다. 같은 그림으로 “원점은 원의 내부/외부/위 중 어디인가”를 묻는 문항으로 바꿀 수 있다.

변형 방향

• 상수항을 바꿔 반지름이 무리수가 되게 하면 난이도가 올라간다.
• 넓이 $(\pi r^2)$ 나 둘레 $(2\pi r)$ 를 묻는 형태로 바꿀 수 있다.